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By Klaus Niederdrenk

Die diskrete Fourier-Transformation als Hilfsmittel ist weit verbreitet. Auf modernen Rechenanlagen wird sie sehr effizient eingesetzt und ist in wichtigen Anwendungsgebieten aus Naturwissenschaft und Technik nicht mehr wegzudenken. Bei der endlichen Fourier-Analyse geht guy davon aus, daB das vorliegende sign als eine Oberlagerung von harmonischen Sinus- und Kosinusschwingun gen mit unterschiedlichen Frequenzen darstellbar ist. Die endliche Fourier Transformation ordnet diesem sign bestimmte Koeffizienten zu, namlich die Amplituden der einzelnen harmonischen Schwingungen. Anhand dieser Koeffi zienten kann guy zum Beispiel sehen, wie stark bestimmte Schwingungen in dem sign vertreten sind. Die Betrage dieser Koeffizienten lassen sich graphisch darstellen; guy erhalt das Amplituden-Spektrum, das zum Beispiel so aussehen kann: JU, v I -- - Ih- -'---'- Vz v3 Auf der Abszisse sind die Frequenzen v, die ganzzahligen Vielfachen einer bestimmten Grundfrequenz, aufgetragen, und die Ordinatenwerte geben die Am plituden der Schwingungen mit den entsprechenden Frequenzen in dem analysier ten sign wieder. Von Interesse sind haufig diejenigen harmonischen Schwin gungen, die besonders stark in dem analysierten sign vertreten sind. 1m obigen Beispiel ist dies die Schwingung mit der Frequenz vI; etwas mehr be deutend als die Ubrigen Schwingungen sind aber auch die beiden mit den gegen Uber vI niedrigeren Frequenzen v2 und v3 und die beiden mit den gegen Uber vI hoheren Frequenzen v4 und v . Der Frequenz vI kommt haufig five besondere Bedeutung zu, da die bei weitem dominierende Schwingung in dem sign diese Frequenz hat. So kann es sich dabei urn die Resonanzfrequenz oder Eigenfrequenz handeln.

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Solche Funktionen lassen sich sehr Ubersichtl ich und mit geringem Aufwand durch Grauwertbilder darstellen. Diese Darstellung ist auBerdem dann von Vorteil und gibt einen guten Oberblick Uber das genaue Verhalten der Funktion. wenn diese wie zum Beispiel das Spektrum einen welligen Verlauf zeigt. •• ,M-l If~,N(k ,i) I , k M und M -2'···'2- n = O,l, ••. ,N-l und i = - 2N , ... 16 Bei einem Grauwertbild schaut man von oben auf den Definitionsbereich und stellt die zugehorigen Funktionswerte durch Grauwerte dar; der minimale Funktionswert ist durch eine schwarze Flache und der maximale Funktionswert durch eine weiBe Flache wiedergegeben.

N-1 im fundamental en Intervall bekannt und beschrankt. y_n) und ist periodisch mit den Perioden X und Y. ···. ···. 16 zeigt eine sehr einfache. im fundamental en Intervall diskret gegebene Funktion (2 Impulse) und das dazugehorige Fourier-Amplituden-Spektrum (M = N= 64). Solche Funktionen lassen sich sehr Ubersichtl ich und mit geringem Aufwand durch Grauwertbilder darstellen. Diese Darstellung ist auBerdem dann von Vorteil und gibt einen guten Oberblick Uber das genaue Verhalten der Funktion.

24) Y+ (' 211i (k f) I I kl ~ K, Iii ~ L } sei mit (K,L E i'l) bezeichnet. h. hier, daB sich jede beschrankte periodische Funktion f mit den Perioden X und Y beliebig genau durch eine (geeignete) Linearkombination von trigonometrischen Polynomen aus ~,L approximieren laBt, wenn man nur K und L groB genug wahlt. h. es existiere das Integra 1 XY I I I f(x,y)1 o0 2 dy dx (zumindest im uneigentlichen Sinn). Dann wird fUr beliebige Funktionen ~(x,y) = aus n K,L K L L L c ki k=-K i =-L das FehlermaB XY (~ ~I f(x,y) - ~(x,y)1 e 211i(k y +if) 2 dy dx ) 1/2 genau dann minimal, wenn man als Koeffizienten ck{' des trigonometrischen Polynoms ~ die eindeutig bestimmten Fourierkoeffizienten 1 X1 Y -211i (ky+if) fA(k,i) = X I y I f(x,y) e dy dx o (I kl < K, 0 Iii < L) wahlt.

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