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By Prof. Dr. Klaus Jänich (auth.)

Die Funktionentheorie behandelt die research komplexer Ver?nderlicher. Dieses Buch, geschrieben im bekannten J?nich-Stil, bietet f?r Studenten im Grundstudium eine straffe und kompakte, dabei stets mathematisch pr?zise erste Einf?hrung. Ausgehend vom Cauchyschen Integralsatz wird der Leser an die grundlegenden Begriffe und S?tze herangef?hrt: Cauchyformel, Potenz- und Laurentreihen, Monodromiesatz, Umlaufszahl, Residuensatz, S?tze von Mittag-Leffler, Weierstra? und Riemann. Viele Abbildungen und kommentierte ?bungsaufgaben erleichtern die Lekt?re. Ein auch f?r Studenten der Physik und Informatik hervorragend geeigneter textual content!

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Weshalb widerspricht das nicht dem Identitätssatz? 7 Hinweise zu den Ubungsaufgaben Zu AUFGABE 1: Aus dem Potenzreihenentwicklungssatz erhält man zunächst nur eine Abschätzung des Konvergenzradius von unten. Um einzusehen, daß der Konvergenzradius nicht noch größer sein kann, muß man nur daran denken, was in der Nähe des Punktes l+i geschieht. Zu AUFGABE 2: Später wird der sogenannte Re8iduen8atz für solche Berechnungen zuständig sein, hier ist aber einfach gemeint, die Cauchysche Formel für die Taylorkoeffizienten zu benutzen und sich aus dem Kapitel 2 die Berechtigung für die Verwendung des exzentrischen Integrationsweges zu holen.

53. Eine Homotopie h zwischen a und ß nem neu eingeführten Begriff notieren wir seine einfachsten Eigenschaften: r ~ Lemma: Durch ~ ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Wege in X definiert. BEWEIS: Die Reflexivität a ~ a ist klar (setze einfach hr := a für alle r), die Symmetrie a ~ ß => ß ~ a auch: zu gegebener Homotopie a ~ ß setze hr := h l - r . Zur Tran8itivität: h Kapitel 5. Analytische Fortsetzung 56 Sind a ~ h ß ~ 'Y gegebene Homotopien, so definieren wir k O$r$t t$r$l. Beachte, daß h: [0,1] x [0,1] --+ X dann wirklich stetig ist.

Analytische Fortsetzung eine Kreisscheibe in C ,,0 nicht die positive und die negative reelle Halbachse gleichzeitig treffen kann. k ganz expli10 zit und formelmäßig. B. einmal im mathematisch positiven Sinne um den Nullpunkt herum, bis sie bei K n = K o wieder ankommt, so ist aus In = In IKn + 27ri dem Hauptzweig fo der soFig. 47. Ergebnis: Fortsetzung des Haupt- genannte erste Nebenzweig zweiges von oben über den Schlitz hinweg fn = fo + 21Ti geworden. 3 Analytische Fortsetzung längs Wegen Sei -y : [t o, t 1 1 - t C ein stetiger Weg.

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